Theorem elbasov 15921

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	⊢ Rel dom 𝑂
elbasov.s	⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
elbasov.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
elbasov	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Proof of Theorem elbasov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3920	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		elbasov.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
3		elbasov.o	. . . . . 6 ⊢ Rel dom 𝑂
4	3	ovprc 6683	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋𝑂𝑌) = ∅)
5	2, 4	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
6	5	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
7		elbasov.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		base0 15912	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2681	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  dom cdm 5114  Rel wrel 5119  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-slot 15861  df-base 15863

This theorem is referenced by:  strov2rcl  15922  psrelbas  19379  psraddcl  19383  psrmulcllem  19387  psrvscafval  19390  psrvscacl  19393  resspsradd  19416  resspsrmul  19417  cphsubrglem  22977  mdegcl  23829