Theorem psrmulcllem 19387

Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrmulcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmulcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrmulcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrmulcl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrmulcllem	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑋(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem psrmulcllem

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		psrmulcl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringcmn 18581	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		psrmulcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		reldmpsr 19361	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom mPwSer
9		psrmulcl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		psrmulcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11	8, 9, 10	elbasov 15921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
13	12	simpld 475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
14		psrmulcl.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15	14	psrbaglefi 19372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin)
16	13, 15	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin)
17	3	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
18	9, 1, 14, 10, 7	psrelbas 19379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘})
21		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘 ↔ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑘))
22	21	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑘))
23	20, 22	sylib 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑘))
24	23	simpld 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
25	19, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
26		psrmulcl.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	9, 1, 14, 10, 26	psrelbas 19379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
29	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝐼 ∈ V)
30		simplr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
31	14	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
32	29, 24, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
33	23	simprd 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑘)
34	14	psrbagcon 19371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑘)) → ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∘𝑟 ≤ 𝑘))
35	29, 30, 32, 33, 34	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∘𝑟 ≤ 𝑘))
36	35	simpld 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷)
37	28, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
38		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	1, 38	ringcl 18561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
40	17, 25, 37, 39	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
41		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))
42	40, 41	fmptd 6385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))):{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}⟶(Base‘𝑅))
43		fvexd 6203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ V)
44	42, 16, 43	fdmfifsupp 8285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
45	1, 2, 6, 16, 42, 44	gsumcl 18316	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))
46		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))
47	45, 46	fmptd 6385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
48		fvex 6201	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
49		ovex 6678	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
50	14, 49	rabex2 4815	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
51	48, 50	elmap 7886	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
52	47, 51	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
53		psrmulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
54	9, 10, 38, 53, 14, 7, 26	psrmulfval 19385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
55	9, 1, 14, 10, 13	psrbas 19378	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
56	52, 54, 55	3eltr4d 2716	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ∘_𝑟 cofr 6896   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  CMndccmn 18193  Ringcrg 18547   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  psrmulcl  19388