Theorem elfz1 12331

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem elfz1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzval 12328	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)})
2	1	eleq2d 2687	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)}))
3		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝐾))
4		breq1 4656	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑗 ≤ 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
5	3, 4	anbi12d 747	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	elrab 3363	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		3anass 1042	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	6, 7	bitr4i 267	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)} ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
9	2, 8	syl6bb 276	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   ≤ cle 10075  ℤcz 11377  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-neg 10269  df-z 11378  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  elfz  12332  elfz2  12333  fzen  12358  fzaddel  12375  fzadd2  12376  elfzm11  12411  fznn0  12432  phicl2  15473  nndiffz1  29548  fzmul  33537  fz1eqin  37332  jm2.27dlem2  37577  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195