Theorem phicl2 15473

Description: Bounds and closure for the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phicl2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem phicl2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phival 15472	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2		fzfi 12771	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3		ssrab2 3687	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)
4		ssfi 8180	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin
6		hashcl 13147	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin → (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℕ0
8	7	nn0zi 11402	. . . 4 ⊢ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ)
10		1z 11407	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		hashsng 13159	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (#‘{1}) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘{1}) = 1
13		ovex 6678	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
14	13	rabex 4813	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V
15		eluzfz1 12348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
16		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
18		nnz 11399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
19		1gcd 15254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 gcd 𝑁) = 1)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 gcd 𝑁) = 1)
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (1 gcd 𝑁) = 1))
23	22	elrab 3363	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ↔ (1 ∈ (1...𝑁) ∧ (1 gcd 𝑁) = 1))
24	17, 20, 23	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
25	24	snssd 4340	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
26		ssdomg 8001	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ V → ({1} ⊆ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
27	14, 25, 26	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
28		snfi 8038	. . . . . 6 ⊢ {1} ∈ Fin
29		hashdom 13168	. . . . . 6 ⊢ (({1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin) → ((#‘{1}) ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
30	28, 5, 29	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ((#‘{1}) ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ↔ {1} ≼ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
31	27, 30	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#‘{1}) ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
32	12, 31	syl5eqbrr 4689	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
33		ssdomg 8001	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ∈ V → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
34	13, 3, 33	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)
35		hashdom 13168	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (#‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁)))
36	5, 2, 35	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (#‘(1...𝑁)) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...𝑁))
37	34, 36	mpbir 221	. . . 4 ⊢ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (#‘(1...𝑁))
38		nnnn0 11299	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
39		hashfz1 13134	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
40	38, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
41	37, 40	syl5breq 4690	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)
42		elfz1 12331	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
43	10, 18, 42	sylancr 695	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁) ↔ ((#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∧ (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ 𝑁)))
44	9, 32, 41, 43	mpbir3and 1245	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ∈ (1...𝑁))
45	1, 44	eqeltrd 2701	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ≼ cdom 7953  Fincfn 7955  1c1 9937   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  #chash 13117   gcd cgcd 15216  ϕcphi 15469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-phi 15471

This theorem is referenced by:  phicl  15474  phi1  15478