Theorem f1oprg 6181

Description: An unordered pair of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function, analogous to f1oprswap 6180. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷}))

Proof of Theorem f1oprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 6177	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
2	1	ad2antrr 762	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
3		f1osng 6177	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → {⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐶}–1-1-onto→{𝐷})
4	3	ad2antlr 763	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐶}–1-1-onto→{𝐷})
5		disjsn2 4247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
6	5	ad2antrl 764	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
7		disjsn2 4247	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
8	7	ad2antll 765	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
9		f1oun 6156	. . . 4 ⊢ ((({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} ∧ {⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐶}–1-1-onto→{𝐷}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}):({𝐴} ∪ {𝐶})–1-1-onto→({𝐵} ∪ {𝐷}))
10	2, 4, 6, 8, 9	syl22anc 1327	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}):({𝐴} ∪ {𝐶})–1-1-onto→({𝐵} ∪ {𝐷}))
11		df-pr 4180	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩})
12	11	eqcomi 2631	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
14		df-pr 4180	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐶} = ({𝐴} ∪ {𝐶})
15	14	eqcomi 2631	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐶}
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐶})
17		df-pr 4180	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐷} = ({𝐵} ∪ {𝐷})
18	17	eqcomi 2631	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∪ {𝐷}) = {𝐵, 𝐷}
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐵} ∪ {𝐷}) = {𝐵, 𝐷})
20	13, 16, 19	f1oeq123d 6133	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}):({𝐴} ∪ {𝐶})–1-1-onto→({𝐵} ∪ {𝐷}) ↔ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷}))
21	10, 20	mpbid 222	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷})
22	21	ex 450	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cop 4183  –1-1-onto→wf1o 5887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

This theorem is referenced by:  f1prex  6539  s2f1o  13661  f1oun2prg  13662  symg2bas  17818  poimirlem9  33418  poimirlem15  33424