Theorem hlpar 27753

Description: The parallelogram law satified by Hilbert space vectors. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlpar.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlpar.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
hlpar.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hlpar.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlpar	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem hlpar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlph 27745	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		hlpar.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hlpar.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		hlpar.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5		hlpar.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	2, 3, 4, 5	phpar 27679	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))
7	1, 6	syl3an1 1359	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  -cneg 10267  2c2 11070  ↑cexp 12860   +_𝑣 cpv 27440  BaseSetcba 27441   ·_𝑠OLD cns 27442  norm_CVcnmcv 27445  CPreHil_OLDccphlo 27667  CHil_OLDchlo 27741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-ph 27668  df-hlo 27742

This theorem is referenced by: (None)