Theorem inttsk 9596

Description: The intersection of a collection of Tarski classes is a Tarski class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inttsk	⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Tarski)

Proof of Theorem inttsk

Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝐴 ⊆ Tarski)
2	1	sselda 3603	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑡 ∈ Tarski)
3		elinti 4485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑡 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ 𝑡))
4	3	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑡)
5	4	adantll 750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑡)
6		tskpwss 9574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ∈ 𝑡) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
7	2, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
8	7	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
9		ssint 4493	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ⊆ 𝑡)
10	8, 9	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
11		tskpw 9575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ∈ 𝑡) → 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
12	2, 5, 11	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
13	12	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
14		vpwex 4849	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑧 ∈ V
15	14	elint2 4482	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝒫 𝑧 ∈ 𝑡)
16	13, 15	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴)
17	10, 16	jca 554	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) → (𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
18	17	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
19		elpwi 4168	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴 → 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
20		rexnal 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ 𝑡 ↔ ¬ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡)
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
22		intex 4820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
23	21, 22	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ V)
24	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ∈ V)
25		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴)
26		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 → 𝑧 ≼ ∩ 𝐴))
27	24, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≼ ∩ 𝐴)
28		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑡 ∈ V
29		intss1 4492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑡)
30	29	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑡)
31		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ V → (∩ 𝐴 ⊆ 𝑡 → ∩ 𝐴 ≼ 𝑡))
32	28, 30, 31	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑡)
33		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)
34		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝐴 ⊆ Tarski)
35		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝐴)
36	34, 35	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ Tarski)
37	25, 30	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ⊆ 𝑡)
38		tsken 9576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧 ⊆ 𝑡) → (𝑧 ≈ 𝑡 ∨ 𝑧 ∈ 𝑡))
39	36, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → (𝑧 ≈ 𝑡 ∨ 𝑧 ∈ 𝑡))
40	39	ord 392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → (¬ 𝑧 ≈ 𝑡 → 𝑧 ∈ 𝑡))
41	33, 40	mt3d 140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≈ 𝑡)
42	41	ensymd 8007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑡 ≈ 𝑧)
43		domentr 8015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∩ 𝐴 ≼ 𝑡 ∧ 𝑡 ≈ 𝑧) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑧)
44	32, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → ∩ 𝐴 ≼ 𝑧)
45		sbth 8080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ≼ ∩ 𝐴 ∧ ∩ 𝐴 ≼ 𝑧) → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴)
46	27, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) ∧ (𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑡)) → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴)
47	46	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (∃𝑡 ∈ 𝐴 ¬ 𝑧 ∈ 𝑡 → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴))
48	20, 47	syl5bir 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡 → 𝑧 ≈ ∩ 𝐴))
49	48	con1d 139	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ 𝑧 ≈ ∩ 𝐴 → ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡))
50		vex 3203	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
51	50	elint2 4482	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ 𝑡)
52	49, 51	syl6ibr 242	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (¬ 𝑧 ≈ ∩ 𝐴 → 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
53	52	orrd 393	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴) → (𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
54	19, 53	sylan2 491	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴) → (𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
55	54	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))
56		eltsk2g 9573	. . 3 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → (∩ 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))))
57	23, 56	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∩ 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 ∈ ∩ 𝐴(𝒫 𝑧 ⊆ ∩ 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 ∈ ∩ 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 ∩ 𝐴(𝑧 ≈ ∩ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ ∩ 𝐴))))
58	18, 55, 57	mpbir2and 957	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Tarski)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ∩ cint 4475   class class class wbr 4653   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953  Tarskictsk 9570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-tsk 9571

This theorem is referenced by:  tskmcl  9663