Theorem limon 7036

Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
limon	⊢ Lim On

Proof of Theorem limon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 6982	. 2 ⊢ Ord On
2		onn0 5789	. 2 ⊢ On ≠ ∅
3		unon 7031	. . 3 ⊢ ∪ On = On
4	3	eqcomi 2631	. 2 ⊢ On = ∪ On
5		df-lim 5728	. 2 ⊢ (Lim On ↔ (Ord On ∧ On ≠ ∅ ∧ On = ∪ On))
6	1, 2, 4, 5	mpbir3an 1244	1 ⊢ Lim On

Syntax hints:   = wceq 1483   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  ∪ cuni 4436  Ord word 5722  Oncon0 5723  Lim wlim 5724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  limom  7080  oesuc  7607  limensuc  8137  limsucncmp  32445