Theorem phplem1 8139

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. If we join a natural number to itself minus an element, we end up with its successor minus the same element. (Contributed by NM, 25-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
phplem1	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7073	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		nordeq 5742	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		disjsn2 4247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
5	1, 4	sylan 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
6		undif4 4035	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵}))
7		df-suc 5729	. . . . 5 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
8	7	equncomi 3759	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = ({𝐴} ∪ 𝐴)
9	8	difeq1i 3724	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}) = (({𝐴} ∪ 𝐴) ∖ {𝐵})
10	6, 9	syl6eqr 2674	. 2 ⊢ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
11	5, 10	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ({𝐴} ∪ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {csn 4177  Ord word 5722  suc csuc 5725  ωcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066

This theorem is referenced by:  phplem2  8140