Theorem nnord 7073

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7071	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 5733	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  Ord word 5722  Oncon0 5723  ωcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066

This theorem is referenced by:  nnlim  7078  nnsuc  7082  nnaordi  7698  nnaord  7699  nnaword  7707  nnmord  7712  nnmwordi  7715  nnawordex  7717  omsmo  7734  phplem1  8139  phplem2  8140  phplem3  8141  phplem4  8142  php  8144  php4  8147  nndomo  8154  ominf  8172  isinf  8173  pssnn  8178  dif1en  8193  unblem1  8212  isfinite2  8218  unfilem1  8224  inf3lem5  8529  inf3lem6  8530  cantnfp1lem2  8576  cantnfp1lem3  8577  dif1card  8833  pwsdompw  9026  ackbij1lem5  9046  ackbij1lem14  9055  ackbij1lem16  9057  ackbij1b  9061  ackbij2  9065  sornom  9099  infpssrlem4  9128  infpssrlem5  9129  fin23lem26  9147  fin23lem23  9148  isf32lem2  9176  isf32lem3  9177  isf32lem4  9178  domtriomlem  9264  axdc3lem2  9273  axdc3lem4  9275  canthp1lem2  9475  elni2  9699  piord  9702  addnidpi  9723  indpi  9729  om2uzf1oi  12752  fzennn  12767  hashp1i  13191  bnj529  30811  bnj1098  30854  bnj570  30975  bnj594  30982  bnj580  30983  bnj967  31015  bnj1001  31028  bnj1053  31044  bnj1071  31045  hfun  32285  finminlem  32312  finxpsuclem  33234  finxpsuc  33235  wepwso  37613