Theorem r19.29uz 14090

Description: A version of 19.29 1801 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
r19.29uz	⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem r19.29uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 11705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3	2	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍))
4		pm3.2 463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
6	3, 5	imim12d 81	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 → 𝜑) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))))
7	6	ralimdv2 2961	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓))))
8	7	impcom 446	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
9		ralim 2948	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
11	10	reximdva 3017	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
12	11	imp 445	1 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑍 𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ‘cfv 5888  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  caubnd  14098  caucvgb  14410  cvgcmp  14548  ulmcau  24149