Theorem revval 13509

Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revval	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
2		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (#‘𝑤) = (#‘𝑊))
3	2	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(#‘𝑤)) = (0..^(#‘𝑊)))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
5	2	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((#‘𝑤) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
6	5	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((#‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))
7	4, 6	fveq12d 6197	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
8	3, 7	mpteq12dv 4733	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9		df-reverse 13305	. . 3 ⊢ reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (0..^(#‘𝑊)) ∈ V
11	10	mptex 6486	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6282	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
13	1, 12	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   − cmin 10266  ..^cfzo 12465  #chash 13117  reversecreverse 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-reverse 13305

This theorem is referenced by:  revcl  13510  revlen  13511  revfv  13512  repswrevw  13533  revco  13580