Theorem rlimi 14244

Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimi.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimi.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimi	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimi.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
2		rlimi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
3		rlimf 14232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
5		rlimi.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉)
8	5, 7	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉)
9		fdm 6051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
11	10	feq2d 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
12	4, 11	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
13	6	fmpt 6381	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
14	12, 13	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
15		rlimss 14233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
16	2, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
17	10, 16	eqsstr3d 3640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
18		rlimcl 14234	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
19	2, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
20	14, 17, 19	rlim2 14227	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
21	2, 20	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
22		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))
23	22	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
24	23	rexralbidv 3058	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
25	24	rspcv 3305	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
26	1, 21, 25	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℝ⁺crp 11832  abscabs 13974   ⇝_𝑟 crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pm 7860  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  rlimi2  14245  rlimclim1  14276  rlimuni  14281  rlimcld2  14309  rlimcn1  14319  rlimcn2  14321  rlimo1  14347  o1rlimmul  14349  rlimno1  14384  xrlimcnp  24695  rlimcxp  24700  chtppilimlem2  25163  dchrisumlem3  25180