Theorem sdomdif 8108

Description: The difference of a set from a smaller set cannot be empty. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdif	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 7962	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelexi 5158	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		ssdif0 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
4		ssdomg 8001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
5		domnsym 8086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
6	4, 5	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	3, 6	syl5bir 233	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
9	8	con2d 129	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅))
10	9	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
11	10	neqned 2801	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  domtriomlem  9264  konigthlem  9390  odcau  18019