Theorem sdomnsym 8085

Description: Strict dominance is asymmetric. Theorem 21(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sdomnsym	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem sdomnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomnen 7984	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
2		sdomdom 7983	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		sdomdom 7983	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
4		sbth 8080	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
5	2, 3, 4	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
6	1, 5	mtand 691	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   class class class wbr 4653   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  domnsym  8086  gchpwdom  9492