Theorem t1sep 21174

Description: Any two distinct points in a T₁ space are separated by an open set. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
t1sep.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
t1sep	⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∃𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝑜))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑜   𝐵,𝑜   𝑜,𝐽   𝑜,𝑋

Proof of Theorem t1sep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1069	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		t1sep.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	t1sep2 21173	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → 𝐵 ∈ 𝑜) → 𝐴 = 𝐵))
4	3	3adant3r3 1276	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → 𝐵 ∈ 𝑜) → 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon3ad 2807	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → 𝐵 ∈ 𝑜)))
6	1, 5	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ¬ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → 𝐵 ∈ 𝑜))
7		rexanali 2998	. 2 ⊢ (∃𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝑜) ↔ ¬ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → 𝐵 ∈ 𝑜))
8	6, 7	sylibr 224	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Fre ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∃𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝑜))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ∪ cuni 4436  Frect1 21111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-t1 21118

This theorem is referenced by: (None)