Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | wess 5101 |
. . 3
⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ( E We 𝐴 → E We 𝐵)) |
2 | | n0 3931 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔
∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵) |
3 | | ineq2 3808 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∩ 𝑥) = (𝐵 ∩ 𝑦)) |
4 | 3 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ (𝐵 ∩ 𝑦) = ∅)) |
5 | 4 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅) |
6 | 5 | ex 450 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝑦) = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅)) |
7 | 6 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ∩ 𝑦) = ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅)) |
8 | | inss1 3833 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝐵 |
9 | | wefr 5104 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ( E We
𝐵 → E Fr 𝐵) |
10 | | vex 3203 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑦 ∈ V |
11 | 10 | inex2 4800 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∩ 𝑦) ∈ V |
12 | 11 | epfrc 5100 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (( E Fr
𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅) |
13 | 9, 12 | syl3an1 1359 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (( E We
𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅) |
14 | 13 | 3exp 1264 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ( E We
𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝑦) ⊆ 𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅))) |
15 | 8, 14 | mpi 20 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ( E We
𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦)((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅)) |
16 | | elin 3796 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) |
17 | 16 | anbi1i 731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅)) |
18 | | anass 681 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅))) |
19 | 17, 18 | bitri 264 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝑦) ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅))) |
20 | 19 | rexbii2 3039 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑥 ∈
(𝐵 ∩ 𝑦)((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅)) |
21 | 15, 20 | syl6ib 241 |
. . . . . . . . 9
⊢ ( E We
𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅))) |
22 | 21 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅))) |
23 | | elin 3796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) |
24 | | df-3an 1039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) |
25 | | 3anrot 1043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) |
26 | 24, 25 | bitr3i 266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) |
27 | | wetrep 5107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (( E We
𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑦)) |
28 | 27 | expd 452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (( E We
𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))) |
29 | 26, 28 | sylan2b 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (( E We
𝐵 ∧ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))) |
30 | 29 | exp44 641 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ( E We
𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)))))) |
31 | 30 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))))) |
32 | 31 | com34 91 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦))))) |
33 | 32 | impd 447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)))) |
34 | 23, 33 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝑦)))) |
35 | 34 | imp4a 614 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑦))) |
36 | 35 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))) |
37 | 36 | ralrimdv 2968 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)𝑧 ∈ 𝑦)) |
38 | | dfss3 3592 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐵 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)𝑧 ∈ 𝑦) |
39 | 37, 38 | syl6ibr 242 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐵 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦)) |
40 | | dfss 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐵 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦 ↔ (𝐵 ∩ 𝑥) = ((𝐵 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)) |
41 | | in32 3825 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐵 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) |
42 | 41 | eqeq2i 2634 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐵 ∩ 𝑥) = ((𝐵 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) ↔ (𝐵 ∩ 𝑥) = ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥)) |
43 | 40, 42 | sylbb 209 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐵 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦 → (𝐵 ∩ 𝑥) = ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥)) |
44 | 43 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐵 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦 → ((𝐵 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅)) |
45 | 44 | biimprd 238 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦 → (((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅ → (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅)) |
46 | 39, 45 | syl6 35 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅ → (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅))) |
47 | 46 | expd 452 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑦 → (((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅ → (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅)))) |
48 | 47 | imp4a 614 |
. . . . . . . . 9
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅) → (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅))) |
49 | 48 | reximdvai 3015 |
. . . . . . . 8
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ((𝐵 ∩ 𝑦) ∩ 𝑥) = ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅)) |
50 | 22, 49 | syld 47 |
. . . . . . 7
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ∩ 𝑦) ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅)) |
51 | 7, 50 | pm2.61dne 2880 |
. . . . . 6
⊢ (( E We
𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅) |
52 | 51 | ex 450 |
. . . . 5
⊢ ( E We
𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅)) |
53 | 52 | exlimdv 1861 |
. . . 4
⊢ ( E We
𝐵 → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅)) |
54 | 2, 53 | syl5bi 232 |
. . 3
⊢ ( E We
𝐵 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅)) |
55 | 1, 54 | syl6com 37 |
. 2
⊢ ( E We
𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅))) |
56 | 55 | 3imp 1256 |
1
⊢ (( E We
𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐵 ∩ 𝑥) = ∅) |