Theorem 0fz1 9064

Description: Two ways to say a finite 1-based sequence is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
0fz1	|- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 1 ... N ) ) -> ( F = (/) <-> N = 0 ) )

Proof of Theorem 0fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fn0 5038	. . . . 5 |- ( F Fn (/) <-> F = (/) )
2		fndmu 5020	. . . . 5 |- ( ( F Fn ( 1 ... N ) /\ F Fn (/) ) -> ( 1 ... N ) = (/) )
3	1, 2	sylan2br 282	. . . 4 |- ( ( F Fn ( 1 ... N ) /\ F = (/) ) -> ( 1 ... N ) = (/) )
4	3	ex 113	. . 3 |- ( F Fn ( 1 ... N ) -> ( F = (/) -> ( 1 ... N ) = (/) ) )
5		fneq2 5008	. . . . 5 |- ( ( 1 ... N ) = (/) -> ( F Fn ( 1 ... N ) <-> F Fn (/) ) )
6	5, 1	syl6bb 194	. . . 4 |- ( ( 1 ... N ) = (/) -> ( F Fn ( 1 ... N ) <-> F = (/) ) )
7	6	biimpcd 157	. . 3 |- ( F Fn ( 1 ... N ) -> ( ( 1 ... N ) = (/) -> F = (/) ) )
8	4, 7	impbid 127	. 2 |- ( F Fn ( 1 ... N ) -> ( F = (/) <-> ( 1 ... N ) = (/) ) )
9		fz1n 9063	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 1 ... N ) = (/) <-> N = 0 ) )
10	8, 9	sylan9bbr 450	1 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 1 ... N ) ) -> ( F = (/) <-> N = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   (/)c0 3251   Fn wfn 4917  (class class class)co 5532   0cc0 6981   1c1 6982   NN0cn0 8288   ...cfz 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030

This theorem is referenced by: (None)