Theorem 0ncn 7000

Description: The empty set is not a complex number. Note: do not use this after the real number axioms are developed, since it is a construction-dependent property. (Contributed by NM, 2-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0ncn	|- -. (/) e. CC

Proof of Theorem 0ncn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4390	. 2 |- -. (/) e. ( R. X. R. )
2		df-c 6987	. . 3 |- CC = ( R. X. R. )
3	2	eleq2i 2145	. 2 |- ( (/) e. CC <-> (/) e. ( R. X. R. ) )
4	1, 3	mtbir 628	1 |- -. (/) e. CC

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1433   (/)c0 3251   X. cxp 4361   R.cnr 6487   CCcc 6979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840  df-xp 4369  df-c 6987

This theorem is referenced by: (None)