Theorem 0neqopab 5570

Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
0neqopab	|- -. (/) e. { <. x , y >. | ph }

Proof of Theorem 0neqopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( (/) e. { <. x , y >. | ph } -> (/) e. { <. x , y >. | ph } )
2		elopab 4013	. . 3 |- ( (/) e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ph ) )
3		nfopab1 3847	. . . . . 6 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
4	3	nfel2 2231	. . . . 5 |- F/ x (/) e. { <. x , y >. | ph }
5	4	nfn 1588	. . . 4 |- F/ x -. (/) e. { <. x , y >. | ph }
6		nfopab2 3848	. . . . . . 7 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
7	6	nfel2 2231	. . . . . 6 |- F/ y (/) e. { <. x , y >. | ph }
8	7	nfn 1588	. . . . 5 |- F/ y -. (/) e. { <. x , y >. | ph }
9		vex 2604	. . . . . . . 8 |- x e. _V
10		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
11	9, 10	opnzi 3990	. . . . . . 7 |- <. x , y >. =/= (/)
12		nesym 2290	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. =/= (/) <-> -. (/) = <. x , y >. )
13		pm2.21 579	. . . . . . . 8 |- ( -. (/) = <. x , y >. -> ( (/) = <. x , y >. -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } ) )
14	12, 13	sylbi 119	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. =/= (/) -> ( (/) = <. x , y >. -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } ) )
15	11, 14	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( (/) = <. x , y >. -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } )
16	15	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ph ) -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } )
17	8, 16	exlimi 1525	. . . 4 |- ( E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ph ) -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } )
18	5, 17	exlimi 1525	. . 3 |- ( E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ph ) -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } )
19	2, 18	sylbi 119	. 2 |- ( (/) e. { <. x , y >. | ph } -> -. (/) e. { <. x , y >. | ph } )
20	1, 19	pm2.65i 600	1 |- -. (/) e. { <. x , y >. | ph }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   =/= wne 2245   (/)c0 3251   <.cop 3401   {copab 3838

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-opab 3840

This theorem is referenced by: (None)