Theorem brabvv 5571

Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brabvv	|- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Distinct variable groups:   x, y, X   x, Y, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem brabvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3786	. . . . . 6 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y <-> <. X , Y >. e. { <. x , y >. | ph } )
2		elopab 4013	. . . . . 6 |- ( <. X , Y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) )
3	1, 2	bitri 182	. . . . 5 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) )
4		exsimpl 1548	. . . . . 6 |- ( E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
5	4	eximi 1531	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) -> E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
6	3, 5	sylbi 119	. . . 4 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. )
7		vex 2604	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9	7, 8	opth 3992	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. = <. X , Y >. <-> ( x = X /\ y = Y ) )
10	9	biimpi 118	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. X , Y >. -> ( x = X /\ y = Y ) )
11	10	eqcoms 2084	. . . . 5 |- ( <. X , Y >. = <. x , y >. -> ( x = X /\ y = Y ) )
12	11	2eximi 1532	. . . 4 |- ( E. x E. y <. X , Y >. = <. x , y >. -> E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) )
13	6, 12	syl 14	. . 3 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) )
14		eeanv 1848	. . 3 |- ( E. x E. y ( x = X /\ y = Y ) <-> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
15	13, 14	sylib 120	. 2 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
16		isset 2605	. . 3 |- ( X e. _V <-> E. x x = X )
17		isset 2605	. . 3 |- ( Y e. _V <-> E. y y = Y )
18	16, 17	anbi12i 447	. 2 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) <-> ( E. x x = X /\ E. y y = Y ) )
19	15, 18	sylibr 132	1 |- ( X { <. x , y >. | ph } Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   <.cop 3401   class class class wbr 3785   {copab 3838

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840

This theorem is referenced by: (None)