Theorem 6p5lem 8546

Description: Lemma for 6p5e11 8549 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
6p5lem.1	|- A e. NN0
6p5lem.2	|- D e. NN0
6p5lem.3	|- E e. NN0
6p5lem.4	|- B = ( D + 1 )
6p5lem.5	|- C = ( E + 1 )
6p5lem.6	|- ( A + D ) = ; 1 E

Assertion

Ref	Expression
6p5lem	|- ( A + B ) = ; 1 C

Proof of Theorem 6p5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5lem.4	. . 3 |- B = ( D + 1 )
2	1	oveq2i 5543	. 2 |- ( A + B ) = ( A + ( D + 1 ) )
3		6p5lem.1	. . . 4 |- A e. NN0
4	3	nn0cni 8300	. . 3 |- A e. CC
5		6p5lem.2	. . . 4 |- D e. NN0
6	5	nn0cni 8300	. . 3 |- D e. CC
7		ax-1cn 7069	. . 3 |- 1 e. CC
8	4, 6, 7	addassi 7127	. 2 |- ( ( A + D ) + 1 ) = ( A + ( D + 1 ) )
9		1nn0 8304	. . 3 |- 1 e. NN0
10		6p5lem.3	. . 3 |- E e. NN0
11		6p5lem.5	. . . 4 |- C = ( E + 1 )
12	11	eqcomi 2085	. . 3 |- ( E + 1 ) = C
13		6p5lem.6	. . 3 |- ( A + D ) = ; 1 E
14	9, 10, 12, 13	decsuc 8507	. 2 |- ( ( A + D ) + 1 ) = ; 1 C
15	2, 8, 14	3eqtr2i 2107	1 |- ( A + B ) = ; 1 C

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433  (class class class)co 5532   1c1 6982   + caddc 6984   NN0cn0 8288  ;cdc 8477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-5 8101  df-6 8102  df-7 8103  df-8 8104  df-9 8105  df-n0 8289  df-dec 8478

This theorem is referenced by:  6p5e11  8549  6p6e12  8550  7p4e11  8552  7p5e12  8553  7p6e13  8554  7p7e14  8555  8p3e11  8557  8p4e12  8558  8p5e13  8559  8p6e14  8560  8p7e15  8561  8p8e16  8562  9p2e11  8563  9p3e12  8564  9p4e13  8565  9p5e14  8566  9p6e15  8567  9p7e16  8568  9p8e17  8569  9p9e18  8570