Theorem abstri 9990

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 7-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abstri	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8109	. . . . . 6 |- 2 e. RR
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. RR )
3		simpl 107	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	4	cjcld 9827	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` B ) e. CC )
6	3, 5	mulcld 7139	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. ( * ` B ) ) e. CC )
7	6	recld 9825	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) e. RR )
8	2, 7	remulcld 7149	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) e. RR )
9		abscl 9937	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
10	3, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` A ) e. RR )
11		abscl 9937	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
12	4, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` B ) e. RR )
13	10, 12	remulcld 7149	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) e. RR )
14	2, 13	remulcld 7149	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) e. RR )
15	10	resqcld 9631	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. RR )
16	12	resqcld 9631	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) e. RR )
17	15, 16	readdcld 7148	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) e. RR )
18		releabs 9982	. . . . . . 7 |- ( ( A x. ( * ` B ) ) e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) )
19	6, 18	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) )
20		absmul 9955	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( * ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) )
21	3, 5, 20	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) )
22		abscj 9938	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( * ` B ) ) = ( abs ` B ) )
23	4, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( * ` B ) ) = ( abs ` B ) )
24	23	oveq2d 5548	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
25	21, 24	eqtrd 2113	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. ( * ` B ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
26	19, 25	breqtrd 3809	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
27		2rp 8739	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
28	27	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 2 e. RR+ )
29	7, 13, 28	lemul2d 8818	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <-> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
30	26, 29	mpbid 145	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) )
31	8, 14, 17, 30	leadd2dd 7660	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
32		sqabsadd 9941	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( Re ` ( A x. ( * ` B ) ) ) ) ) )
33	10	recnd 7147	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` A ) e. CC )
34	12	recnd 7147	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` B ) e. CC )
35		binom2 9585	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ ( abs ` B ) e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
37	15	recnd 7147	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) e. CC )
38	14	recnd 7147	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) e. CC )
39	16	recnd 7147	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` B ) ^ 2 ) e. CC )
40	37, 38, 39	add32d 7276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
41	36, 40	eqtrd 2113	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) + ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) ) ) )
42	31, 32, 41	3brtr4d 3815	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) )
43		addcl 7098	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
44		abscl 9937	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( abs ` ( A + B ) ) e. RR )
45	43, 44	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) e. RR )
46	10, 12	readdcld 7148	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) e. RR )
47		absge0 9946	. . . 4 |- ( ( A + B ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( A + B ) ) )
48	43, 47	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` ( A + B ) ) )
49		absge0 9946	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
50	3, 49	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
51		absge0 9946	. . . . 5 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
52	4, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
53	10, 12, 50, 52	addge0d 7622	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> 0 <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )
54	45, 46, 48, 53	le2sqd 9637	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) <-> ( ( abs ` ( A + B ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) ^ 2 ) ) )
55	42, 54	mpbird 165	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A + B ) ) <_ ( ( abs ` A ) + ( abs ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   + caddc 6984   x. cmul 6986   <_ cle 7154   2c2 8089   RR+crp 8734   ^cexp 9475   *ccj 9726   Recre 9727   abscabs 9883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885

This theorem is referenced by:  abs3dif  9991  abs2dif2  9993  abstrii  10041  abstrid  10082