Theorem addcmpblnr 6916

Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnr	|- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. ) )

Proof of Theorem addcmpblnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5541	. 2 |- ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) )
2		addclpr 6727	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ F e. P. ) -> ( A +P. F ) e. P. )
3		addclpr 6727	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. P. /\ G e. P. ) -> ( B +P. G ) e. P. )
4	2, 3	anim12i 331	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ F e. P. ) /\ ( B e. P. /\ G e. P. ) ) -> ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) )
5	4	an4s 552	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( F e. P. /\ G e. P. ) ) -> ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) )
6		addclpr 6727	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. P. /\ R e. P. ) -> ( C +P. R ) e. P. )
7		addclpr 6727	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. P. /\ S e. P. ) -> ( D +P. S ) e. P. )
8	6, 7	anim12i 331	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. P. /\ R e. P. ) /\ ( D e. P. /\ S e. P. ) ) -> ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) )
9	8	an4s 552	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. P. /\ D e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) -> ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) )
10	5, 9	anim12i 331	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( F e. P. /\ G e. P. ) ) /\ ( ( C e. P. /\ D e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) )
11	10	an4s 552	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) )
12		enrbreq 6911	. . . 4 |- ( ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) ) )
14		simprll 503	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> F e. P. )
15		simplrr 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> D e. P. )
16		addcomprg 6768	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. P. /\ D e. P. ) -> ( F +P. D ) = ( D +P. F ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. D ) = ( D +P. F ) )
18	17	oveq1d 5547	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( ( D +P. F ) +P. S ) )
19		simprrr 506	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> S e. P. )
20		addassprg 6769	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. P. /\ D e. P. /\ S e. P. ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( F +P. ( D +P. S ) ) )
21	14, 15, 19, 20	syl3anc 1169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( F +P. ( D +P. S ) ) )
22		addassprg 6769	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. P. /\ F e. P. /\ S e. P. ) -> ( ( D +P. F ) +P. S ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
23	15, 14, 19, 22	syl3anc 1169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( D +P. F ) +P. S ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
24	18, 21, 23	3eqtr3d 2121	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. ( D +P. S ) ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
25	24	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
26		simplll 499	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> A e. P. )
27	15, 19, 7	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( D +P. S ) e. P. )
28		addassprg 6769	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ F e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) )
29	26, 14, 27, 28	syl3anc 1169	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) )
30		addclpr 6727	. . . . . . 7 |- ( ( F e. P. /\ S e. P. ) -> ( F +P. S ) e. P. )
31	14, 19, 30	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. S ) e. P. )
32		addassprg 6769	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ D e. P. /\ ( F +P. S ) e. P. ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
33	26, 15, 31, 32	syl3anc 1169	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
34	25, 29, 33	3eqtr4d 2123	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) )
35		simprlr 504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> G e. P. )
36		simplrl 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> C e. P. )
37		addcomprg 6768	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. P. /\ C e. P. ) -> ( G +P. C ) = ( C +P. G ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. C ) = ( C +P. G ) )
39	38	oveq1d 5547	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( ( C +P. G ) +P. R ) )
40		simprrl 505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> R e. P. )
41		addassprg 6769	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. P. /\ C e. P. /\ R e. P. ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( G +P. ( C +P. R ) ) )
42	35, 36, 40, 41	syl3anc 1169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( G +P. ( C +P. R ) ) )
43		addassprg 6769	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. P. /\ G e. P. /\ R e. P. ) -> ( ( C +P. G ) +P. R ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
44	36, 35, 40, 43	syl3anc 1169	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( C +P. G ) +P. R ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
45	39, 42, 44	3eqtr3d 2121	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. ( C +P. R ) ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
46	45	oveq2d 5548	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
47		simpllr 500	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> B e. P. )
48	36, 40, 6	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( C +P. R ) e. P. )
49		addassprg 6769	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ G e. P. /\ ( C +P. R ) e. P. ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) )
50	47, 35, 48, 49	syl3anc 1169	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) )
51		addclpr 6727	. . . . . . 7 |- ( ( G e. P. /\ R e. P. ) -> ( G +P. R ) e. P. )
52	35, 40, 51	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. R ) e. P. )
53		addassprg 6769	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. /\ ( G +P. R ) e. P. ) -> ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
54	47, 36, 52, 53	syl3anc 1169	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
55	46, 50, 54	3eqtr4d 2123	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) )
56	34, 55	eqeq12d 2095	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) <-> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) ) )
57	13, 56	bitrd 186	. 2 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) ) )
58	1, 57	syl5ibr 154	1 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   <.cop 3401   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   P.cnp 6481   +P. cpp 6483   ~R cer 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-iplp 6658  df-enr 6903

This theorem is referenced by:  addsrmo  6920