Theorem avglt2 8270

Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
avglt2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( A + B ) / 2 ) < B ) )

Proof of Theorem avglt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
2	1	recnd 7147	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. CC )
3		2times 8160	. . . 4 |- ( B e. CC -> ( 2 x. B ) = ( B + B ) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 2 x. B ) = ( B + B ) )
5	4	breq2d 3797	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A + B ) < ( 2 x. B ) <-> ( A + B ) < ( B + B ) ) )
6		readdcl 7099	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
7		2re 8109	. . . . 5 |- 2 e. RR
8		2pos 8130	. . . . 5 |- 0 < 2
9	7, 8	pm3.2i 266	. . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
11		ltdivmul 7954	. . 3 |- ( ( ( A + B ) e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) < B <-> ( A + B ) < ( 2 x. B ) ) )
12	6, 1, 10, 11	syl3anc 1169	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) < B <-> ( A + B ) < ( 2 x. B ) ) )
13		ltadd1 7533	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + B ) < ( B + B ) ) )
14	13	3anidm23 1228	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A + B ) < ( B + B ) ) )
15	5, 12, 14	3bitr4rd 219	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( ( A + B ) / 2 ) < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   / cdiv 7760   2c2 8089

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-2 8098

This theorem is referenced by:  avgle1  8271