Theorem axmulcom 7037

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7077 be used later. Instead, use mulcom 7102. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )

Proof of Theorem axmulcom

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7009	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		mulcnsrec 7011	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
3		mulcnsrec 7011	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E x. [ <. x , y >. ] `' _E ) = [ <. ( ( z .R x ) +R ( -1R .R ( w .R y ) ) ) , ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) >. ] `' _E )
4		simpll 495	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> x e. R. )
5		simprl 497	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> z e. R. )
6		mulcomsrg 6934	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) = ( z .R x ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x .R z ) = ( z .R x ) )
8		simplr 496	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> y e. R. )
9		simprr 498	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> w e. R. )
10		mulcomsrg 6934	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) = ( w .R y ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y .R w ) = ( w .R y ) )
12	11	oveq2d 5548	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) = ( -1R .R ( w .R y ) ) )
13	7, 12	oveq12d 5550	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) = ( ( z .R x ) +R ( -1R .R ( w .R y ) ) ) )
14		mulcomsrg 6934	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) = ( z .R y ) )
15	8, 5, 14	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y .R z ) = ( z .R y ) )
16		mulcomsrg 6934	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) = ( w .R x ) )
17	4, 9, 16	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x .R w ) = ( w .R x ) )
18	15, 17	oveq12d 5550	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) = ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) )
19		mulclsr 6931	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ y e. R. ) -> ( z .R y ) e. R. )
20	5, 8, 19	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( z .R y ) e. R. )
21		mulclsr 6931	. . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ x e. R. ) -> ( w .R x ) e. R. )
22	9, 4, 21	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( w .R x ) e. R. )
23		addcomsrg 6932	. . . 4 |- ( ( ( z .R y ) e. R. /\ ( w .R x ) e. R. ) -> ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
24	20, 22, 23	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
25	18, 24	eqtrd 2113	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
26	1, 2, 3, 13, 25	ecovicom 6237	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   _E cep 4042   `'ccnv 4362  (class class class)co 5532   R.cnr 6487   -1Rcm1r 6490   +R cplr 6491   .R cmr 6492   CCcc 6979   x. cmul 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-iplp 6658  df-imp 6659  df-enr 6903  df-nr 6904  df-plr 6905  df-mr 6906  df-m1r 6910  df-c 6987  df-mul 6993

This theorem is referenced by:  rereceu  7055  recriota  7056