Theorem axpre-mulgt0 7053

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 7093. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-mulgt0	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulgt0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6997	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 6997	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		breq2 3789	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> 0 <RR A ) )
4	3	anbi1d 452	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) <-> ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) ) )
5		oveq1 5539	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = ( A x. <. y , 0R >. ) )
6	5	breq2d 3797	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	imbi12d 232	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) ) <-> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 3789	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0 <RR B ) )
9	8	anbi2d 451	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) <-> ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) ) )
10		oveq2 5540	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A x. <. y , 0R >. ) = ( A x. B ) )
11	10	breq2d 3797	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) <-> 0 <RR ( A x. B ) ) )
12	9, 11	imbi12d 232	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( A x. <. y , 0R >. ) ) <-> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) ) )
13		df-0 6988	. . . . . 6 |- 0 = <. 0R , 0R >.
14	13	breq1i 3792	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. x , 0R >. )
15		ltresr 7007	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> 0R <R x )
16	14, 15	bitri 182	. . . 4 |- ( 0 <RR <. x , 0R >. <-> 0R <R x )
17	13	breq1i 3792	. . . . 5 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. )
18		ltresr 7007	. . . . 5 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
19	17, 18	bitri 182	. . . 4 |- ( 0 <RR <. y , 0R >. <-> 0R <R y )
20		mulgt0sr 6954	. . . 4 |- ( ( 0R <R x /\ 0R <R y ) -> 0R <R ( x .R y ) )
21	16, 19, 20	syl2anb 285	. . 3 |- ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0R <R ( x .R y ) )
22	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> 0 = <. 0R , 0R >. )
23		mulresr 7006	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = <. ( x .R y ) , 0R >. )
24	22, 23	breq12d 3798	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> <. 0R , 0R >. <RR <. ( x .R y ) , 0R >. ) )
25		ltresr 7007	. . . 4 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. ( x .R y ) , 0R >. <-> 0R <R ( x .R y ) )
26	24, 25	syl6bb 194	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) <-> 0R <R ( x .R y ) ) )
27	21, 26	syl5ibr 154	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( ( 0 <RR <. x , 0R >. /\ 0 <RR <. y , 0R >. ) -> 0 <RR ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) ) )
28	1, 2, 7, 12, 27	2gencl 2632	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 <RR A /\ 0 <RR B ) -> 0 <RR ( A x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   <.cop 3401   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   R.cnr 6487   0Rc0r 6488   .R cmr 6492   <R cltr 6493   RRcr 6980   0cc0 6981   <RR cltrr 6985   x. cmul 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-iplp 6658  df-imp 6659  df-iltp 6660  df-enr 6903  df-nr 6904  df-plr 6905  df-mr 6906  df-ltr 6907  df-0r 6908  df-m1r 6910  df-c 6987  df-0 6988  df-r 6991  df-mul 6993  df-lt 6994

This theorem is referenced by: (None)