Theorem bj-inf2vnlem2 10766

Description: Lemma for bj-inf2vnlem3 10767 and bj-inf2vnlem4 10768. Remark: unoptimized proof (have to use more deduction style). (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-inf2vnlem2	|- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> A. u ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, t, u, A   x, Z, y, t, u

Proof of Theorem bj-inf2vnlem2

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2087	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( x = (/) <-> u = (/) ) )
2		eqeq1 2087	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( x = suc y <-> u = suc y ) )
3	2	rexbidv 2369	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( E. y e. A x = suc y <-> E. y e. A u = suc y ) )
4	1, 3	orbi12d 739	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) <-> ( u = (/) \/ E. y e. A u = suc y ) ) )
5	4	rspcv 2697	. . . . 5 |- ( u e. A -> ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> ( u = (/) \/ E. y e. A u = suc y ) ) )
6		df-bj-ind 10722	. . . . . . . . 9 |- (Ind Z <-> ( (/) e. Z /\ A. v e. Z suc v e. Z ) )
7	6	simplbi 268	. . . . . . . 8 |- (Ind Z -> (/) e. Z )
8		eleq1 2141	. . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> ( u e. Z <-> (/) e. Z ) )
9	7, 8	syl5ibr 154	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> (Ind Z -> u e. Z ) )
10	9	a1dd 47	. . . . . 6 |- ( u = (/) -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) )
11		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
12	11	sucid 4172	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
13		eleq2 2142	. . . . . . . . . 10 |- ( suc y = u -> ( y e. suc y <-> y e. u ) )
14	13	eqcoms 2084	. . . . . . . . 9 |- ( u = suc y -> ( y e. suc y <-> y e. u ) )
15	12, 14	mpbii 146	. . . . . . . 8 |- ( u = suc y -> y e. u )
16		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = y -> ( t e. A <-> y e. A ) )
17		eleq1 2141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = y -> ( t e. Z <-> y e. Z ) )
18	16, 17	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = y -> ( ( t e. A -> t e. Z ) <-> ( y e. A -> y e. Z ) ) )
19	18	rspcv 2697	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. u -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( y e. A -> y e. Z ) ) )
20		bj-indsuc 10723	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ind Z -> ( y e. Z -> suc y e. Z ) )
21		eleq1a 2150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) )
22	20, 21	syl6com 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Z -> (Ind Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) ) )
23	19, 22	syl8 70	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. u -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( y e. A -> (Ind Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) ) ) ) )
24	23	com13 79	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( y e. u -> (Ind Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) ) ) ) )
25	24	com25 90	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( u = suc y -> ( y e. u -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) ) )
26	15, 25	mpdi 42	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( u = suc y -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
27	26	rexlimiv 2471	. . . . . 6 |- ( E. y e. A u = suc y -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) )
28	10, 27	jaoi 668	. . . . 5 |- ( ( u = (/) \/ E. y e. A u = suc y ) -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) )
29	5, 28	syl6 33	. . . 4 |- ( u e. A -> ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
30	29	com3l 80	. . 3 |- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
31	30	alrimdv 1797	. 2 |- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> A. u ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
32		bi2.04 246	. . 3 |- ( ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) <-> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) )
33	32	albii 1399	. 2 |- ( A. u ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) <-> A. u ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) )
34	31, 33	syl6ib 159	1 |- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> A. u ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   \/ wo 661   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   (/)c0 3251   suc csuc 4120  Ind wind 10721

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-suc 4126  df-bj-ind 10722

This theorem is referenced by:  bj-inf2vnlem3  10767  bj-inf2vnlem4  10768