Theorem cnrecnv 9797

Description: The inverse to the canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC from cnref1o 8733. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrecnv.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnrecnv	|- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )

Distinct variable groups:   z, F   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem cnrecnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrecnv.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2	1	cnref1o 8733	. . . . . 6 |- F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
3		f1ocnv 5159	. . . . . 6 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> `' F : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) )
4		f1of 5146	. . . . . 6 |- ( `' F : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) -> `' F : CC --> ( RR X. RR ) )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . 5 |- `' F : CC --> ( RR X. RR )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> `' F : CC --> ( RR X. RR ) )
7	6	feqmptd 5247	. . 3 |- ( T. -> `' F = ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) ) )
8	7	trud 1293	. 2 |- `' F = ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) )
9		df-ov 5535	. . . . . . 7 |- ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
10		recl 9740	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( Re ` z ) e. RR )
11		imcl 9741	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( Im ` z ) e. RR )
12	10	recnd 7147	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC -> ( Re ` z ) e. CC )
13		ax-icn 7071	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. CC -> _i e. CC )
15	11	recnd 7147	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. CC -> ( Im ` z ) e. CC )
16	14, 15	mulcld 7139	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC -> ( _i x. ( Im ` z ) ) e. CC )
17	12, 16	addcld 7138	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) e. CC )
18		oveq1 5539	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. y ) ) )
19		oveq2 5540	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( _i x. y ) = ( _i x. ( Im ` z ) ) )
20	19	oveq2d 5548	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( Re ` z ) + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
21	18, 20, 1	ovmpt2g 5655	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` z ) e. RR /\ ( Im ` z ) e. RR /\ ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) e. CC ) -> ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
22	10, 11, 17, 21	syl3anc 1169	. . . . . . 7 |- ( z e. CC -> ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
23	9, 22	syl5eqr 2127	. . . . . 6 |- ( z e. CC -> ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
24		replim 9746	. . . . . 6 |- ( z e. CC -> z = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
25	23, 24	eqtr4d 2116	. . . . 5 |- ( z e. CC -> ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) = z )
26	25	fveq2d 5202	. . . 4 |- ( z e. CC -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = ( `' F ` z ) )
27		opelxpi 4394	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` z ) e. RR /\ ( Im ` z ) e. RR ) -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) )
28	10, 11, 27	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( z e. CC -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) )
29		f1ocnvfv1 5437	. . . . 5 |- ( ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC /\ <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) ) -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
30	2, 28, 29	sylancr 405	. . . 4 |- ( z e. CC -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
31	26, 30	eqtr3d 2115	. . 3 |- ( z e. CC -> ( `' F ` z ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32	31	mpteq2ia 3864	. 2 |- ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) ) = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
33	8, 32	eqtri 2101	1 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )

Syntax hints:   = wceq 1284   T. wtru 1285   e. wcel 1433   <.cop 3401   |-> cmpt 3839   X. cxp 4361   `'ccnv 4362   -->wf 4918   -1-1-onto->wf1o 4921   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   |-> cmpt2 5534   CCcc 6979   RRcr 6980   _ici 6983   + caddc 6984   x. cmul 6986   Recre 9727   Imcim 9728

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-2 8098  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731

This theorem is referenced by: (None)