Theorem cnvpom 4880

Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cnvpom	|- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, R

Proof of Theorem cnvpom

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2485	. . . . . . 7 |- ( A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. z e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
2		ralidm 3341	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. A A. w e. A -. w R w <-> A. w e. A -. w R w )
3		r19.3rmv 3332	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x x e. A -> ( -. w R w <-> A. z e. A -. w R w ) )
4	3	ralbidv 2368	. . . . . . . . 9 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A -. w R w <-> A. w e. A A. z e. A -. w R w ) )
5	2, 4	syl5rbb 191	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A -. w R w <-> A. w e. A A. w e. A -. w R w ) )
6	5	anbi1d 452	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( ( A. w e. A A. z e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
7	1, 6	syl5bb 190	. . . . . 6 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
8		r19.26 2485	. . . . . . 7 |- ( A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
9	8	ralbii 2372	. . . . . 6 |- ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A ( A. z e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
10		r19.26 2485	. . . . . 6 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> ( A. w e. A A. w e. A -. w R w /\ A. w e. A A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
11	7, 9, 10	3bitr4g 221	. . . . 5 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) ) )
12		r19.26 2485	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
13		vex 2604	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
14	13, 13	brcnv 4536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z `' R z <-> z R z )
15		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> z = w )
16	15, 15	breq12d 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( z R z <-> w R w ) )
17	14, 16	syl5bb 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( z `' R z <-> w R w ) )
18	17	notbid 624	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( -. z `' R z <-> -. w R w ) )
19	18	cbvralv 2577	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A -. z `' R z <-> A. w e. A -. w R w )
20		vex 2604	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
21	13, 20	brcnv 4536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z `' R y <-> y R z )
22		vex 2604	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
23	20, 22	brcnv 4536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y `' R w <-> w R y )
24	21, 23	anbi12ci 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z `' R y /\ y `' R w ) <-> ( w R y /\ y R z ) )
25	13, 22	brcnv 4536	. . . . . . . . . . 11 |- ( z `' R w <-> w R z )
26	24, 25	imbi12i 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) <-> ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
27	26	ralbii 2372	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) <-> A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) )
28	19, 27	anbi12i 447	. . . . . . . 8 |- ( ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
29	12, 28	bitr2i 183	. . . . . . 7 |- ( ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
30	29	ralbii 2372	. . . . . 6 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. w e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
31		ralcom 2517	. . . . . 6 |- ( A. w e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
32	30, 31	bitri 182	. . . . 5 |- ( A. w e. A ( A. w e. A -. w R w /\ A. z e. A ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
33	11, 32	syl6bb 194	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
34	33	ralbidv 2368	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. y e. A A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
35		ralcom 2517	. . 3 |- ( A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. y e. A A. w e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
36		ralcom 2517	. . 3 |- ( A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
37	34, 35, 36	3bitr4g 221	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) <-> A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) ) )
38		df-po 4051	. 2 |- ( R Po A <-> A. w e. A A. y e. A A. z e. A ( -. w R w /\ ( ( w R y /\ y R z ) -> w R z ) ) )
39		df-po 4051	. 2 |- ( `' R Po A <-> A. z e. A A. y e. A A. w e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R w ) -> z `' R w ) ) )
40	37, 38, 39	3bitr4g 221	1 |- ( E. x x e. A -> ( R Po A <-> `' R Po A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   E.wex 1421   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785   Po wpo 4049   `'ccnv 4362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-po 4051  df-cnv 4371

This theorem is referenced by:  cnvsom  4881