Theorem dfxp3 5840

Description: Define the cross product of three classes. Compare df-xp 4369. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfxp3	|- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) }

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, y, z

Proof of Theorem dfxp3

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biidd 170	. . 3 |- ( u = <. x , y >. -> ( z e. C <-> z e. C ) )
2	1	dfoprab4 5838	. 2 |- { <. u , z >. | ( u e. ( A X. B ) /\ z e. C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) }
3		df-xp 4369	. 2 |- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. u , z >. | ( u e. ( A X. B ) /\ z e. C ) }
4		df-3an 921	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) )
5	4	oprabbii 5580	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) }
6	2, 3, 5	3eqtr4i 2111	1 |- ( ( A X. B ) X. C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) }

Syntax hints:   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   <.cop 3401   {copab 3838   X. cxp 4361   {coprab 5533

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fo 4928  df-fv 4930  df-oprab 5536  df-1st 5787  df-2nd 5788

This theorem is referenced by: (None)