Theorem divfl0 9298

Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divfl0	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 ) )

Proof of Theorem divfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 8371	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
2		znq 8709	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
3	1, 2	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
4		qcn 8719	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
5		addid2 7247	. . . . . 6 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( 0 + ( A / B ) ) = ( A / B ) )
6	5	eqcomd 2086	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( A / B ) = ( 0 + ( A / B ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) = ( 0 + ( A / B ) ) )
8	7	fveq2d 5202	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) )
9	8	eqeq1d 2089	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 <-> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 ) )
10		0z 8362	. . 3 |- 0 e. ZZ
11		flqbi2 9293	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( A / B ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
12	10, 3, 11	sylancr 405	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
13		nn0ge0div 8434	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A / B ) )
14	13	biantrurd 299	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
15		nn0re 8297	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
16		nnrp 8743	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
17		divlt1lt 8801	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )
18	15, 16, 17	syl2an 283	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )
19	14, 18	bitr3d 188	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) <-> A < B ) )
20	9, 12, 19	3bitrrd 213	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   / cdiv 7760   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   QQcq 8704   RR+crp 8734   |_cfl 9272

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  9307