Theorem dvdsabseq 10247

Description: If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsabseq	|- ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) )

Proof of Theorem dvdsabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 10200	. . 3 |- ( M || N -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
2		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( M || N /\ N || M ) -> N || M )
3		breq1 3788	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( N || M <-> 0 || M ) )
4		0dvds 10215	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( 0 || M <-> M = 0 ) )
5	4	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || M <-> M = 0 ) )
6		zcn 8356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
7	6	abs00ad 9951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( ( abs ` M ) = 0 <-> M = 0 ) )
8	7	bicomd 139	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( M = 0 <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
9	8	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
10	5, 9	bitrd 186	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || M <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
11	3, 10	sylan9bb 449	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
12		fveq2 5198	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 0 -> ( abs ` N ) = ( abs ` 0 ) )
13		abs0 9944	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs ` 0 ) = 0
14	12, 13	syl6eq 2129	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 0 -> ( abs ` N ) = 0 )
15	14	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( abs ` N ) = 0 )
16	15	eqeq2d 2092	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( abs ` M ) = 0 ) )
17	11, 16	bitr4d 189	. . . . . . 7 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M <-> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
18	2, 17	syl5ib 152	. . . . . 6 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
19	18	expd 254	. . . . 5 |- ( ( N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
20	19	expcom 114	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
21		simprl 497	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
22		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
23	22	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
24		neqne 2253	. . . . . . . 8 |- ( -. N = 0 -> N =/= 0 )
25	24	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N =/= 0 )
26		dvdsleabs2 10246	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( M || N -> ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) )
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1169	. . . . . 6 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) )
28		simpr 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N || M /\ M || N ) -> M || N )
29		breq1 3788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M = 0 -> ( M || N <-> 0 || N ) )
30		0dvds 10215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
31		eqcom 2083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( abs ` N ) = 0 <-> 0 = ( abs ` N ) )
32		zcn 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
33	32	abs00ad 9951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ZZ -> ( ( abs ` N ) = 0 <-> N = 0 ) )
34	31, 33	syl5rbbr 193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
35	30, 34	bitrd 186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
36	35	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
37	29, 36	sylan9bb 449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
38		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M = 0 -> ( abs ` M ) = ( abs ` 0 ) )
39	38, 13	syl6eq 2129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M = 0 -> ( abs ` M ) = 0 )
40	39	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( abs ` M ) = 0 )
41	40	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> 0 = ( abs ` N ) ) )
42	37, 41	bitr4d 189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N <-> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
43	28, 42	syl5ib 152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N || M /\ M || N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
44	43	a1dd 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( N || M /\ M || N ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
45	44	expcomd 1370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
46	45	expcom 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) ) )
47	22	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
48		simprl 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
49		neqne 2253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. M = 0 -> M =/= 0 )
50	49	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M =/= 0 )
51		dvdsleabs2 10246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( N || M -> ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) ) )
52	47, 48, 50, 51	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M -> ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) ) )
53		eqcom 2083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( abs ` N ) = ( abs ` M ) )
54	32	abscld 10067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. RR )
55	6	abscld 10067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` M ) e. RR )
56		letri3 7192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( abs ` N ) e. RR /\ ( abs ` M ) e. RR ) -> ( ( abs ` N ) = ( abs ` M ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
57	54, 55, 56	syl2anr 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) = ( abs ` M ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
58	53, 57	syl5bb 190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` M ) = ( abs ` N ) <-> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) ) )
59	58	biimprd 156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) /\ ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
60	59	expd 254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
61	60	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( abs ` N ) <_ ( abs ` M ) -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
62	52, 61	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
63	62	a1d 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. M = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
64	63	expcom 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. M = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) ) )
65		0z 8362	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
66		zdceq 8423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID M = 0 )
67	65, 66	mpan2 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> DECID M = 0 )
68		exmiddc 777	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID M = 0 -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
70	69	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = 0 \/ -. M = 0 ) )
71	46, 64, 70	mpjaod 670	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
72	71	com34 82	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
73	72	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( ( abs ` M ) <_ ( abs ` N ) -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
74	27, 73	mpdd 40	. . . . 5 |- ( ( -. N = 0 /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
75	74	expcom 114	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N = 0 -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) ) )
76		zdceq 8423	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
77	65, 76	mpan2 415	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 0 )
78		exmiddc 777	. . . . . 6 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
80	79	adantl 271	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
81	20, 75, 80	mpjaod 670	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) ) )
82	1, 81	mpcom 36	. 2 |- ( M || N -> ( N || M -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) ) )
83	82	imp 122	1 |- ( ( M || N /\ N || M ) -> ( abs ` M ) = ( abs ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661  DECID wdc 775   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   class class class wbr 3785   ` cfv 4922   RRcr 6980   0cc0 6981   <_ cle 7154   ZZcz 8351   abscabs 9883   || cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  dvdseq  10248