Theorem elfv 5196

Description: Membership in a function value. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elfv	|- ( A e. ( F ` B ) <-> E. x ( A e. x /\ A. y ( B F y <-> y = x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   x, F, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem elfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fv2 5193	. . 3 |- ( F ` B ) = U. { x | A. y ( B F y <-> y = x ) }
2	1	eleq2i 2145	. 2 |- ( A e. ( F ` B ) <-> A e. U. { x | A. y ( B F y <-> y = x ) } )
3		eluniab 3613	. 2 |- ( A e. U. { x | A. y ( B F y <-> y = x ) } <-> E. x ( A e. x /\ A. y ( B F y <-> y = x ) ) )
4	2, 3	bitri 182	1 |- ( A e. ( F ` B ) <-> E. x ( A e. x /\ A. y ( B F y <-> y = x ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   E.wex 1421   e. wcel 1433   {cab 2067   U.cuni 3601   class class class wbr 3785   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-sn 3404  df-uni 3602  df-iota 4887  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  fv3  5218  relelfvdm  5226