Theorem fv3 5218

Description: Alternate definition of the value of a function. Definition 6.11 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fv3	|- ( F ` A ) = { x | ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) }

Distinct variable groups:   x, y, F   x, A, y

Proof of Theorem fv3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5196	. . 3 |- ( x e. ( F ` A ) <-> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
2		bi2 128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( y = z -> A F y ) )
3	2	alimi 1384	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> A. y ( y = z -> A F y ) )
4		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
5		breq2 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( A F y <-> A F z ) )
6	4, 5	ceqsalv 2629	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y = z -> A F y ) <-> A F z )
7	3, 6	sylib 120	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> A F z )
8	7	anim2i 334	. . . . . . 7 |- ( ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> ( x e. z /\ A F z ) )
9	8	eximi 1531	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. z ( x e. z /\ A F z ) )
10		elequ2 1641	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( x e. z <-> x e. y ) )
11		breq2 3789	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( A F z <-> A F y ) )
12	10, 11	anbi12d 456	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( x e. z /\ A F z ) <-> ( x e. y /\ A F y ) ) )
13	12	cbvexv 1836	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A F z ) <-> E. y ( x e. y /\ A F y ) )
14	9, 13	sylib 120	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. y ( x e. y /\ A F y ) )
15		exsimpr 1549	. . . . . 6 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E. z A. y ( A F y <-> y = z ) )
16		df-eu 1944	. . . . . 6 |- ( E! y A F y <-> E. z A. y ( A F y <-> y = z ) )
17	15, 16	sylibr 132	. . . . 5 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> E! y A F y )
18	14, 17	jca 300	. . . 4 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) -> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
19		nfeu1 1952	. . . . . . 7 |- F/ y E! y A F y
20		nfv 1461	. . . . . . . . 9 |- F/ y x e. z
21		nfa1 1474	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y ( A F y <-> y = z )
22	20, 21	nfan 1497	. . . . . . . 8 |- F/ y ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) )
23	22	nfex 1568	. . . . . . 7 |- F/ y E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) )
24	19, 23	nfim 1504	. . . . . 6 |- F/ y ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
25		bi1 116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( A F y -> y = z ) )
26		ax-14 1445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( x e. y -> x e. z ) )
27	25, 26	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( A F y -> ( x e. y -> x e. z ) ) )
28	27	com23 77	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( x e. y -> ( A F y -> x e. z ) ) )
29	28	impd 251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> x e. z ) )
30	29	sps 1470	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> x e. z ) )
31	30	anc2ri 323	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( A. y ( A F y <-> y = z ) -> ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
33	32	eximdv 1801	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( E. z A. y ( A F y <-> y = z ) -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
34	16, 33	syl5bi 150	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ A F y ) -> ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
35	24, 34	exlimi 1525	. . . . 5 |- ( E. y ( x e. y /\ A F y ) -> ( E! y A F y -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) ) )
36	35	imp 122	. . . 4 |- ( ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) -> E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) )
37	18, 36	impbii 124	. . 3 |- ( E. z ( x e. z /\ A. y ( A F y <-> y = z ) ) <-> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
38	1, 37	bitri 182	. 2 |- ( x e. ( F ` A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) )
39	38	abbi2i 2193	1 |- ( F ` A ) = { x | ( E. y ( x e. y /\ A F y ) /\ E! y A F y ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   E!weu 1941   {cab 2067   class class class wbr 3785   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-iota 4887  df-fv 4930

This theorem is referenced by: (None)