elfzodifsumelfzo - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem elfzodifsumelfzo 9210

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	$/\$ ..^ ..^

**Proof of Theorem elfzodifsumelfzo**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 9128	. . 3 $/\$ $/\$
2		elfz2nn0 9128	. . . . 5 $/\$ $/\$
3		elfzo0 9191	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ $/\$
4		nn0z 8371	. . . . . . . . . . . . 13
5		nn0z 8371	. . . . . . . . . . . . 13
6		znnsub 8402	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
8		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
9		simpll 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
10		nn0addcl 8323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
11	8, 9, 10	syl2anr 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		0red 7120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
14		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	14	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
16		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
17	16	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
18	13, 15, 17	3jca 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nn0ge0 8313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21	20	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
22	21	anim1i 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
23		lelttr 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
24	19, 22, 23	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
25	24	ex 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
26		0red 7120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	16	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
29	28	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
30		ltletr 7200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
32		nn0z 8371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33		elnnz 8361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
34	33	simplbi2 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
36	35	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
37	31, 36	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
38	37	exp4b 359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39	38	com24 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40	39	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
41	40	com13 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	41	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
43	25, 42	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
44	43	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
45	44	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	imp 122	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	47	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
49	15	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
50		readdcl 7099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
51	48, 49, 50	syl2anr 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	17	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
54	53	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	28	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	52, 55, 56	3jca 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	47	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
60	15	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
61	17	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
62	59, 60, 61	ltaddsubd 7645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
63	62	exbiri 374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
64	63	com23 77	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
65	64	impd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
66	65	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
67	66	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	anim1i 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		ltletr 7200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
71	58, 69, 70	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	anasss 391	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		elfzo0 9191	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ $/\$
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
75	74	exp53 369	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ ..^
76	7, 75	sylbird 168	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ..^
77	76	3adant3 958	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
78	77	com14 87	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
79	78	3imp 1132	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
80	3, 79	sylbi 119	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
81	80	com13 79	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
82	81	3adant1 956	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
83	2, 82	sylbi 119	. . . 4 $/\$ $/\$ ..^ ..^
84	83	com12 30	. . 3 $/\$ $/\$ ..^ ..^
85	1, 84	sylbi 119	. 2 ..^ ..^
86	85	imp 122	1 $/\$ ..^ ..^

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 102

wb 103 $/\$ w3a 919

wcel 1433 class class class wbr 3785 (class class class)co 5532

cr 6980

cc0 6981

caddc 6984

clt 7153

cle 7154

cmin 7279

cn 8039

cn0 8288

cz 8351

cfz 9029 ..^cfzo 9152

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-sep 3896 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-1cn 7069 ax-1re 7070 ax-icn 7071 ax-addcl 7072 ax-addrcl 7073 ax-mulcl 7074 ax-addcom 7076 ax-addass 7078 ax-distr 7080 ax-i2m1 7081 ax-0lt1 7082 ax-0id 7084 ax-rnegex 7085 ax-cnre 7087 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090 ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-id 4048 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158 df-le 7159 df-sub 7281 df-neg 7282 df-inn 8040 df-n0 8289 df-z 8352 df-uz 8620 df-fz 9030 df-fzo 9153

This theorem is referenced by: elfzom1elp1fzo 9211

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