Theorem eluzuzle 8627

Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzuzle	|- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )

Proof of Theorem eluzuzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 8625	. 2 |- ( C e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) )
2		simpll 495	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B e. ZZ )
3		simpr2 945	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. ZZ )
4		zre 8355	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5	4	ad2antrr 471	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B e. RR )
6		zre 8355	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
7	6	3ad2ant1 959	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> A e. RR )
8	7	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> A e. RR )
9		zre 8355	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
10	9	3ad2ant2 960	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> C e. RR )
11	10	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. RR )
12		simplr 496	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B <_ A )
13		simpr3 946	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> A <_ C )
14	5, 8, 11, 12, 13	letrd 7233	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> B <_ C )
15		eluz2 8625	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
16	2, 3, 14, 15	syl3anbrc 1122	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) /\ ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
17	16	ex 113	. 2 |- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ /\ A <_ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
18	1, 17	syl5bi 150	1 |- ( ( B e. ZZ /\ B <_ A ) -> ( C e. ( ZZ>= ` A ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922   RRcr 6980   <_ cle 7154   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltwlin 7089

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  eluz2nn  8657  uzuzle23  8659  eluzge3nn  8660