Theorem eqinfti 6433

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eqinfti	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem eqinfti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6398	. . 3 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		eqinfti.ti	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 6432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4	3	eqsupti 6409	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C ) )
5		vex 2604	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
6		brcnvg 4534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( C `' R y <-> y R C ) )
7	6	bicomd 139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( y R C <-> C `' R y ) )
8	5, 7	mpan2 415	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( y R C <-> C `' R y ) )
9	8	notbid 624	. . . . . . . . 9 |- ( C e. A -> ( -. y R C <-> -. C `' R y ) )
10	9	ralbidv 2368	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( A. y e. B -. y R C <-> A. y e. B -. C `' R y ) )
11		brcnvg 4534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. _V /\ C e. A ) -> ( y `' R C <-> C R y ) )
12	5, 11	mpan 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( y `' R C <-> C R y ) )
13	12	bicomd 139	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( C R y <-> y `' R C ) )
14		vex 2604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
15	5, 14	brcnv 4536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y `' R z <-> z R y )
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. A -> ( y `' R z <-> z R y ) )
17	16	bicomd 139	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( z R y <-> y `' R z ) )
18	17	rexbidv 2369	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( E. z e. B z R y <-> E. z e. B y `' R z ) )
19	13, 18	imbi12d 232	. . . . . . . . 9 |- ( C e. A -> ( ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
20	19	ralbidv 2368	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
21	10, 20	anbi12d 456	. . . . . . 7 |- ( C e. A -> ( ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
22	21	pm5.32i 441	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
23		3anass 923	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
24		3anass 923	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
25	22, 23, 24	3bitr4i 210	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
26	25	biimpi 118	. . . 4 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
27	4, 26	impel 274	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C )
28	1, 27	syl5eq 2125	. 2 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> inf ( B , A , R ) = C )
29	28	ex 113	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   `'ccnv 4362   supcsup 6395  infcinf 6396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-riota 5488  df-sup 6397  df-inf 6398

This theorem is referenced by:  eqinftid  6434