Theorem eusv2nf 4206

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression A ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
eusv2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eusv2nf	|- ( E! y E. x y = A <-> F/_ x A )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem eusv2nf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfeu1 1952	. . . 4 |- F/ y E! y E. x y = A
2		nfe1 1425	. . . . . . 7 |- F/ x E. x y = A
3	2	nfeu 1960	. . . . . 6 |- F/ x E! y E. x y = A
4		eusv2.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
5	4	isseti 2607	. . . . . . . 8 |- E. y y = A
6		19.8a 1522	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> E. x y = A )
7	6	ancri 317	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( E. x y = A /\ y = A ) )
8	5, 7	eximii 1533	. . . . . . 7 |- E. y ( E. x y = A /\ y = A )
9		eupick 2020	. . . . . . 7 |- ( ( E! y E. x y = A /\ E. y ( E. x y = A /\ y = A ) ) -> ( E. x y = A -> y = A ) )
10	8, 9	mpan2 415	. . . . . 6 |- ( E! y E. x y = A -> ( E. x y = A -> y = A ) )
11	3, 10	alrimi 1455	. . . . 5 |- ( E! y E. x y = A -> A. x ( E. x y = A -> y = A ) )
12		nf3 1599	. . . . 5 |- ( F/ x y = A <-> A. x ( E. x y = A -> y = A ) )
13	11, 12	sylibr 132	. . . 4 |- ( E! y E. x y = A -> F/ x y = A )
14	1, 13	alrimi 1455	. . 3 |- ( E! y E. x y = A -> A. y F/ x y = A )
15		dfnfc2 3619	. . . 4 |- ( A. x A e. _V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )
16	15, 4	mpg 1380	. . 3 |- ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A )
17	14, 16	sylibr 132	. 2 |- ( E! y E. x y = A -> F/_ x A )
18		eusvnfb 4204	. . . 4 |- ( E! y A. x y = A <-> ( F/_ x A /\ A e. _V ) )
19	4, 18	mpbiran2 882	. . 3 |- ( E! y A. x y = A <-> F/_ x A )
20		eusv2i 4205	. . 3 |- ( E! y A. x y = A -> E! y E. x y = A )
21	19, 20	sylbir 133	. 2 |- ( F/_ x A -> E! y E. x y = A )
22	17, 21	impbii 124	1 |- ( E! y E. x y = A <-> F/_ x A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   F/wnf 1389   E.wex 1421   e. wcel 1433   E!weu 1941   F/_wnfc 2206   _Vcvv 2601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602

This theorem is referenced by:  eusv2  4207