Theorem expge1 9513

Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa greater than or equal to 1 is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge1	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expge1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ A ) )
2	1	elrab 2749	. . . . 5 |- ( A e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( A e. RR /\ 1 <_ A ) )
3		ssrab2 3079	. . . . . . 7 |- { z e. RR | 1 <_ z } C_ RR
4		ax-resscn 7068	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3008	. . . . . 6 |- { z e. RR | 1 <_ z } C_ CC
6		breq2 3789	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ x ) )
7	6	elrab 2749	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) )
8		breq2 3789	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ y ) )
9	8	elrab 2749	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( y e. RR /\ 1 <_ y ) )
10		remulcl 7101	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
11	10	ad2ant2r 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
12		1t1e1 8184	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
13		1re 7118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
14		0le1 7585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 1
15	13, 14	pm3.2i 266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 )
16	15	jctl 307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ x e. RR ) )
17	15	jctl 307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ y e. RR ) )
18		lemul12a 7940	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ x e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ y e. RR ) ) -> ( ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) ) )
19	16, 17, 18	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) ) )
20	19	imp 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( x x. y ) )
21	12, 20	syl5eqbrr 3819	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( 1 <_ x /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ ( x x. y ) )
22	21	an4s 552	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ ( x x. y ) )
23		breq2 3789	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ ( x x. y ) ) )
24	23	elrab 2749	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( ( x x. y ) e. RR /\ 1 <_ ( x x. y ) ) )
25	11, 22, 24	sylanbrc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
26	7, 9, 25	syl2anb 285	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. RR | 1 <_ z } /\ y e. { z e. RR | 1 <_ z } ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
27		1le1 7672	. . . . . . 7 |- 1 <_ 1
28		breq2 3789	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ 1 ) )
29	28	elrab 2749	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( 1 e. RR /\ 1 <_ 1 ) )
30	13, 27, 29	mpbir2an 883	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. RR | 1 <_ z }
31	5, 26, 30	expcllem 9487	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. RR | 1 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
32	2, 31	sylanbr 279	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
33	32	3impa 1133	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
34	33	3com23 1144	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } )
35		breq2 3789	. . . 4 |- ( z = ( A ^ N ) -> ( 1 <_ z <-> 1 <_ ( A ^ N ) ) )
36	35	elrab 2749	. . 3 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } <-> ( ( A ^ N ) e. RR /\ 1 <_ ( A ^ N ) ) )
37	36	simprbi 269	. 2 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 1 <_ z } -> 1 <_ ( A ^ N ) )
38	34, 37	syl 14	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   e. wcel 1433   {crab 2352   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   x. cmul 6986   <_ cle 7154   NN0cn0 8288   ^cexp 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-iexp 9476

This theorem is referenced by:  expgt1  9514  leexp2a  9529  expge1d  9624