Theorem f1co 5121

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1co	|- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 4927	. . 3 |- ( F : B -1-1-> C <-> ( F : B --> C /\ Fun `' F ) )
2		df-f1 4927	. . 3 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
3		fco 5076	. . . . 5 |- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( F o. G ) : A --> C )
4		funco 4960	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun ( `' G o. `' F ) )
5		cnvco 4538	. . . . . . . 8 |- `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
6	5	funeqi 4942	. . . . . . 7 |- ( Fun `' ( F o. G ) <-> Fun ( `' G o. `' F ) )
7	4, 6	sylibr 132	. . . . . 6 |- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun `' ( F o. G ) )
8	7	ancoms 264	. . . . 5 |- ( ( Fun `' F /\ Fun `' G ) -> Fun `' ( F o. G ) )
9	3, 8	anim12i 331	. . . 4 |- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ ( Fun `' F /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
10	9	an4s 552	. . 3 |- ( ( ( F : B --> C /\ Fun `' F ) /\ ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
11	1, 2, 10	syl2anb 285	. 2 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
12		df-f1 4927	. 2 |- ( ( F o. G ) : A -1-1-> C <-> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
13	11, 12	sylibr 132	1 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   `'ccnv 4362   o. ccom 4367   Fun wfun 4916   -->wf 4918   -1-1->wf1 4919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927

This theorem is referenced by:  f1oco  5169  tposf12  5907  domtr  6288