Theorem f1oco 5169

Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1oco	|- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C )

Proof of Theorem f1oco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1o 4929	. . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> C <-> ( F : B -1-1-> C /\ F : B -onto-> C ) )
2		df-f1o 4929	. . 3 |- ( G : A -1-1-onto-> B <-> ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) )
3		f1co 5121	. . . . 5 |- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )
4		foco 5136	. . . . 5 |- ( ( F : B -onto-> C /\ G : A -onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -onto-> C )
5	3, 4	anim12i 331	. . . 4 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( F : B -onto-> C /\ G : A -onto-> B ) ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
6	5	an4s 552	. . 3 |- ( ( ( F : B -1-1-> C /\ F : B -onto-> C ) /\ ( G : A -1-1-> B /\ G : A -onto-> B ) ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
7	1, 2, 6	syl2anb 285	. 2 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
8		df-f1o 4929	. 2 |- ( ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C <-> ( ( F o. G ) : A -1-1-> C /\ ( F o. G ) : A -onto-> C ) )
9	7, 8	sylibr 132	1 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ G : A -1-1-onto-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-onto-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   o. ccom 4367   -1-1->wf1 4919   -onto->wfo 4920   -1-1-onto->wf1o 4921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929

This theorem is referenced by:  isotr  5476  ener  6282