Theorem f1domg 6261

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1domg	|- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem f1domg

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dmex 5763	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> A e. _V )
2		f1f 5112	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
3		fex 5409	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
4	2, 3	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
5	1, 4	syldan 276	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> F e. _V )
6	5	expcom 114	. . 3 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> F e. _V ) )
7		f1eq1 5107	. . . 4 |- ( f = F -> ( f : A -1-1-> B <-> F : A -1-1-> B ) )
8	7	spcegv 2686	. . 3 |- ( F e. _V -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
9	6, 8	syli 37	. 2 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> E. f f : A -1-1-> B ) )
10		brdomg 6252	. 2 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
11	9, 10	sylibrd 167	1 |- ( B e. C -> ( F : A -1-1-> B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   -->wf 4918   -1-1->wf1 4919   ~<_ cdom 6243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-dom 6246

This theorem is referenced by:  f1dom  6263  dom2d  6276