Theorem f1eq1 5107

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5050	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 4527	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 4943	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 456	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 4927	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 4927	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 221	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   `'ccnv 4362   Fun wfun 4916   -->wf 4918   -1-1->wf1 4919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5137  f1eq123d  5141  fun11iun  5167  fo00  5182  tposf12  5907  f1dom2g  6259  f1domg  6261  dom3d  6277  domtr  6288