Theorem f1elima 5433

Description: Membership in the image of a 1-1 map. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
f1elima	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> X e. Y ) )

Proof of Theorem f1elima

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 5113	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> F Fn A )
2		fvelimab 5250	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
3	1, 2	sylan 277	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
4	3	3adant2 957	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
5		ssel 2993	. . . . . . . 8 |- ( Y C_ A -> ( z e. Y -> z e. A ) )
6	5	impac 373	. . . . . . 7 |- ( ( Y C_ A /\ z e. Y ) -> ( z e. A /\ z e. Y ) )
7		f1fveq 5432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( z e. A /\ X e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> z = X ) )
8	7	ancom2s 530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> z = X ) )
9	8	biimpd 142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> z = X ) )
10	9	anassrs 392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> z = X ) )
11		eleq1 2141	. . . . . . . . . 10 |- ( z = X -> ( z e. Y <-> X e. Y ) )
12	11	biimpcd 157	. . . . . . . . 9 |- ( z e. Y -> ( z = X -> X e. Y ) )
13	10, 12	sylan9 401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ z e. A ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
14	13	anasss 391	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ ( z e. A /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
15	6, 14	sylan2 280	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ ( Y C_ A /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
16	15	anassrs 392	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ Y C_ A ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
17	16	rexlimdva 2477	. . . 4 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
18	17	3impa 1133	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
19		eqid 2081	. . . 4 |- ( F ` X ) = ( F ` X )
20		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( F ` z ) = ( F ` X ) )
21	20	eqeq1d 2089	. . . . 5 |- ( z = X -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> ( F ` X ) = ( F ` X ) ) )
22	21	rspcev 2701	. . . 4 |- ( ( X e. Y /\ ( F ` X ) = ( F ` X ) ) -> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) )
23	19, 22	mpan2 415	. . 3 |- ( X e. Y -> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) )
24	18, 23	impbid1 140	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> X e. Y ) )
25	4, 24	bitrd 186	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> X e. Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   C_ wss 2973   "cima 4366   Fn wfn 4917   -1-1->wf1 4919   ` cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  f1imass  5434