Theorem f1stres 5806

Description: Mapping of a restriction of the 1st (first member of an ordered pair) function. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
f1stres	|- ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A

Proof of Theorem f1stres

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
2		vex 2604	. . . . . . . 8 |- z e. _V
3	1, 2	op1sta 4822	. . . . . . 7 |- U. dom { <. y , z >. } = y
4	3	eleq1i 2144	. . . . . 6 |- ( U. dom { <. y , z >. } e. A <-> y e. A )
5	4	biimpri 131	. . . . 5 |- ( y e. A -> U. dom { <. y , z >. } e. A )
6	5	adantr 270	. . . 4 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> U. dom { <. y , z >. } e. A )
7	6	rgen2 2447	. . 3 |- A. y e. A A. z e. B U. dom { <. y , z >. } e. A
8		sneq 3409	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> { x } = { <. y , z >. } )
9	8	dmeqd 4555	. . . . . 6 |- ( x = <. y , z >. -> dom { x } = dom { <. y , z >. } )
10	9	unieqd 3612	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> U. dom { x } = U. dom { <. y , z >. } )
11	10	eleq1d 2147	. . . 4 |- ( x = <. y , z >. -> ( U. dom { x } e. A <-> U. dom { <. y , z >. } e. A ) )
12	11	ralxp 4497	. . 3 |- ( A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A <-> A. y e. A A. z e. B U. dom { <. y , z >. } e. A )
13	7, 12	mpbir 144	. 2 |- A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A
14		df-1st 5787	. . . . 5 |- 1st = ( x e. _V |-> U. dom { x } )
15	14	reseq1i 4626	. . . 4 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) = ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) )
16		ssv 3019	. . . . 5 |- ( A X. B ) C_ _V
17		resmpt 4676	. . . . 5 |- ( ( A X. B ) C_ _V -> ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } ) )
18	16, 17	ax-mp 7	. . . 4 |- ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } )
19	15, 18	eqtri 2101	. . 3 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } )
20	19	fmpt 5340	. 2 |- ( A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A <-> ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A )
21	13, 20	mpbi 143	1 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   {csn 3398   <.cop 3401   U.cuni 3601   |-> cmpt 3839   X. cxp 4361   dom cdm 4363   |` cres 4365   -->wf 4918   1stc1st 5785

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-1st 5787

This theorem is referenced by:  fo1stresm  5808  1stcof  5810