Theorem facnn 9654

Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facnn	|- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I , CC ) ` N ) )

Proof of Theorem facnn

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 7113	. . 3 |- 0 e. _V
2		1ex 7114	. . 3 |- 1 e. _V
3		df-fac 9653	. . . 4 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I , CC ) )
4		nnuz 8654	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
5		dfn2 8301	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	4, 5	eqtr3i 2103	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( NN0 \ { 0 } )
7	6	reseq2i 4627	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I , CC ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , _I , CC ) |` ( NN0 \ { 0 } ) )
8		1zzd 8378	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
9		cnex 7097	. . . . . . . . . 10 |- CC e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> CC e. _V )
11		fvi 5251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) = f )
12	11	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
13	12	ibir 175	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
14		eluzelcn 8630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _I ` f ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( _I ` f ) e. CC )
16	15	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ f e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( _I ` f ) e. CC )
17		mulcl 7100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. CC /\ g e. CC ) -> ( f x. g ) e. CC )
18	17	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ ( f e. CC /\ g e. CC ) ) -> ( f x. g ) e. CC )
19	8, 10, 16, 18	iseqfn 9441	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( x. , _I , CC ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
20	19	trud 1293	. . . . . . 7 |- seq 1 ( x. , _I , CC ) Fn ( ZZ>= ` 1 )
21		fnresdm 5028	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , _I , CC ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , _I , CC ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I , CC ) )
22	20, 21	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I , CC ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I , CC )
23	7, 22	eqtr3i 2103	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , _I , CC ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) = seq 1 ( x. , _I , CC )
24	23	uneq2i 3123	. . . 4 |- ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I , CC ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) ) = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I , CC ) )
25	3, 24	eqtr4i 2104	. . 3 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I , CC ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) )
26	1, 2, 25	fvsnun2 5382	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I , CC ) ` N ) )
27	26, 5	eleq2s 2173	1 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I , CC ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   T. wtru 1285   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   \ cdif 2970   u. cun 2971   {csn 3398   <.cop 3401   _I cid 4043   |` cres 4365   Fn wfn 4917   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   1c1 6982   x. cmul 6986   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ZZ>=cuz 8619   seqcseq 9431   !cfa 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-fac 9653

This theorem is referenced by:  fac1  9656  facp1  9657  ibcval5  9690