Theorem feu 5092

Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
feu	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y e. B <. C , y >. e. F )

Distinct variable groups:   y, F   y, A   y, B   y, C

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5066	. . . 4 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fneu2 5024	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> E! y <. C , y >. e. F )
3	1, 2	sylan 277	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y <. C , y >. e. F )
4		opelf 5082	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ <. C , y >. e. F ) -> ( C e. A /\ y e. B ) )
5	4	simprd 112	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ <. C , y >. e. F ) -> y e. B )
6	5	ex 113	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( <. C , y >. e. F -> y e. B ) )
7	6	pm4.71rd 386	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. C , y >. e. F <-> ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
8	7	eubidv 1949	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( E! y <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
9	8	adantr 270	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( E! y <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) ) )
10	3, 9	mpbid 145	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) )
11		df-reu 2355	. 2 |- ( E! y e. B <. C , y >. e. F <-> E! y ( y e. B /\ <. C , y >. e. F ) )
12	10, 11	sylibr 132	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> E! y e. B <. C , y >. e. F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   E!weu 1941   E!wreu 2350   <.cop 3401   Fn wfn 4917   -->wf 4918

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926

This theorem is referenced by:  fsn  5356  f1ofveu  5520