Theorem fsn 5356

Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. _V
fsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fsn	|- ( F : { A } --> { B } <-> F = { <. A , B >. } )

Proof of Theorem fsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelf 5082	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A } --> { B } /\ <. x , y >. e. F ) -> ( x e. { A } /\ y e. { B } ) )
2		velsn 3415	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { A } <-> x = A )
3		velsn 3415	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { B } <-> y = B )
4	2, 3	anbi12i 447	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { B } ) <-> ( x = A /\ y = B ) )
5	1, 4	sylib 120	. . . . . . 7 |- ( ( F : { A } --> { B } /\ <. x , y >. e. F ) -> ( x = A /\ y = B ) )
6	5	ex 113	. . . . . 6 |- ( F : { A } --> { B } -> ( <. x , y >. e. F -> ( x = A /\ y = B ) ) )
7		fsn.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
8	7	snid 3425	. . . . . . . . 9 |- A e. { A }
9		feu 5092	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : { A } --> { B } /\ A e. { A } ) -> E! y e. { B } <. A , y >. e. F )
10	8, 9	mpan2 415	. . . . . . . 8 |- ( F : { A } --> { B } -> E! y e. { B } <. A , y >. e. F )
11	3	anbi1i 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( y = B /\ <. A , y >. e. F ) )
12		opeq2 3571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
13	12	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> ( <. A , y >. e. F <-> <. A , B >. e. F ) )
14	13	pm5.32i 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y = B /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( y = B /\ <. A , B >. e. F ) )
15		ancom 262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> ( y = B /\ <. A , B >. e. F ) )
16	14, 15	bitr4i 185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y = B /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) )
17	11, 16	bitr2i 183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) )
18	17	eubii 1950	. . . . . . . . 9 |- ( E! y ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> E! y ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) )
19		fsn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. _V
20	19	eueq1 2764	. . . . . . . . . . 11 |- E! y y = B
21	20	biantru 296	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , B >. e. F <-> ( <. A , B >. e. F /\ E! y y = B ) )
22		euanv 1998	. . . . . . . . . 10 |- ( E! y ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> ( <. A , B >. e. F /\ E! y y = B ) )
23	21, 22	bitr4i 185	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , B >. e. F <-> E! y ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) )
24		df-reu 2355	. . . . . . . . 9 |- ( E! y e. { B } <. A , y >. e. F <-> E! y ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) )
25	18, 23, 24	3bitr4i 210	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. F <-> E! y e. { B } <. A , y >. e. F )
26	10, 25	sylibr 132	. . . . . . 7 |- ( F : { A } --> { B } -> <. A , B >. e. F )
27		opeq12 3572	. . . . . . . 8 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> <. x , y >. = <. A , B >. )
28	27	eleq1d 2147	. . . . . . 7 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( <. x , y >. e. F <-> <. A , B >. e. F ) )
29	26, 28	syl5ibrcom 155	. . . . . 6 |- ( F : { A } --> { B } -> ( ( x = A /\ y = B ) -> <. x , y >. e. F ) )
30	6, 29	impbid 127	. . . . 5 |- ( F : { A } --> { B } -> ( <. x , y >. e. F <-> ( x = A /\ y = B ) ) )
31		vex 2604	. . . . . . . 8 |- x e. _V
32		vex 2604	. . . . . . . 8 |- y e. _V
33	31, 32	opex 3984	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
34	33	elsn 3414	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. = <. A , B >. )
35	7, 19	opth2 3995	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> ( x = A /\ y = B ) )
36	34, 35	bitr2i 183	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ y = B ) <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
37	30, 36	syl6bb 194	. . . 4 |- ( F : { A } --> { B } -> ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) )
38	37	alrimivv 1796	. . 3 |- ( F : { A } --> { B } -> A. x A. y ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) )
39		frel 5069	. . . 4 |- ( F : { A } --> { B } -> Rel F )
40	7, 19	relsnop 4462	. . . 4 |- Rel { <. A , B >. }
41		eqrel 4447	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ Rel { <. A , B >. } ) -> ( F = { <. A , B >. } <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) ) )
42	39, 40, 41	sylancl 404	. . 3 |- ( F : { A } --> { B } -> ( F = { <. A , B >. } <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) ) )
43	38, 42	mpbird 165	. 2 |- ( F : { A } --> { B } -> F = { <. A , B >. } )
44	7, 19	f1osn 5186	. . . 4 |- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }
45		f1oeq1 5137	. . . 4 |- ( F = { <. A , B >. } -> ( F : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
46	44, 45	mpbiri 166	. . 3 |- ( F = { <. A , B >. } -> F : { A } -1-1-onto-> { B } )
47		f1of 5146	. . 3 |- ( F : { A } -1-1-onto-> { B } -> F : { A } --> { B } )
48	46, 47	syl 14	. 2 |- ( F = { <. A , B >. } -> F : { A } --> { B } )
49	43, 48	impbii 124	1 |- ( F : { A } --> { B } <-> F = { <. A , B >. } )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   E!weu 1941   E!wreu 2350   _Vcvv 2601   {csn 3398   <.cop 3401   Rel wrel 4368   -->wf 4918   -1-1-onto->wf1o 4921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929

This theorem is referenced by:  fsng  5357