Theorem fmpt2 5847

Description: Functionality, domain and range of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt2.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fmpt2	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt2.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpt2x 5846	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D )
3		iunxpconst 4418	. . 3 |- U_ x e. A ( { x } X. B ) = ( A X. B )
4	3	feq2i 5060	. 2 |- ( F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D <-> F : ( A X. B ) --> D )
5	2, 4	bitri 182	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Syntax hints:   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   {csn 3398   U_ciun 3678   X. cxp 4361   -->wf 4918   |-> cmpt2 5534

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788

This theorem is referenced by:  fnmpt2  5848  fmpt2co  5857  eroprf  6222  subf  7310  ixxf  8921  ioof  8994  fzf  9033  fzof  9154  gcdf  10364  eucalgf  10437